Fibonacci-sorozat: mi az, hogyan számoljuk ki és hol jelenik meg?
Tartalomjegyzék
Mi a Fibonacci-sorozat?
A Fibonacci-sorozat olyan végtelen számsor, amelyben minden tag az előtte álló két szám összege. A nulladik eleme 0, az első eleme 1, innen pedig minden további tag adódik:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
A sorozat tagjait Fibonacci-számoknak nevezzük. Az elnevezés a 19. századi francia matematikustól, Édouard Lucas-tól származik, aki Leonardo di Pisa – ismertebb nevén Fibonacci – tiszteletére nevezte így el.
| Sorszám (n) | Fibonacci-szám (Fₙ) | Az előző kettő összege |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 1 | — |
| 2 | 1 | 0 + 1 |
| 3 | 2 | 1 + 1 |
| 4 | 3 | 1 + 2 |
| 5 | 5 | 2 + 3 |
| 6 | 8 | 3 + 5 |
A Fibonacci-sorozat eredete és a nyúlprobléma
Leonardo di Pisa (kb. 1170 – kb. 1250) pisai kereskedőcsaládból származó matematikus volt, aki az észak-afrikai Bugia (ma Bejaia, Algéria) kikötővárosában arab tanároktól ismerte meg a hindu-arab számrendszert. 1202-es Liber Abaci című művével ő honosította meg a tizedes számrendszert Európában, ahol addig a római számok és az abakusz uralkodott.
Ugyanebben a könyvben szerepel a feladat, amelyből a sorozat származik: hány nyúlpárunk lesz egy év alatt, ha minden pár a második hónapjától kezdve havonta egy új párt hoz világra? A hónapról hónapra kapott párok száma pontosan a Fibonacci-számokat adja ki.
A Fibonacci-sorozat képlete és kiszámítása
A sorozatot rekurzív képlettel adjuk meg, vagyis minden tagot az előzőekből számolunk ki:
F₀ = 0, F₁ = 1, és Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, ha n ≥ 2
Ha egy távolabbi tagra vagyunk kíváncsiak anélkül, hogy az összes előzőt kiszámolnánk, a Binet-formula zárt alakban adja meg bármelyik elemet:
Fₙ = (φⁿ − (1 − φ)ⁿ) / √5, ahol φ = (1 + √5) / 2
A gyakorlatban a rekurzív alak a kényelmesebb. A sorozat gyorsan növekszik: a 10. tag még csak 55, a 20. tag viszont már 6765.
Az aranymetszés és a Fibonacci-számok kapcsolata
A sorozat legismertebb tulajdonsága, hogy a szomszédos tagok hányadosa az aranymetszéshez tart. Ha egy tagot elosztunk az előtte állóval (Fₙ / Fₙ₋₁), az eredmény egyre közelebb kerül a fí (φ) értékéhez, ami (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
Fordított sorrendben osztva (Fₙ₋₁ / Fₙ) a fí reciprokát, körülbelül 0,618-at kapunk. Már a 13/8 = 1,625 és a 21/13 ≈ 1,615 is jól közelíti az értéket, a sorozatban előrehaladva pedig a közelítés egyre pontosabb.
Ez a kapcsolat magyarázza, miért ugyanaz a néhány arány tér vissza a természeti formákban és a tőzsdei elemzőeszközökben: nem a Fibonacci-számok, hanem a belőlük adódó arányok a közös nevező.
A Fibonacci-sorozat tulajdonságai
- Rekurzív felépítés: az első két tag kivételével minden elem az előző kettő összege.
- Tízes szabály: az első tíz tag összege a hetedik tag tizenegyszerese. Ez minden olyan sorozatra igaz, amely a Fibonacci-szabály szerint épül fel, függetlenül a kezdő két számtól.
- Négyszeres szabály: bármely tag négyszereséhez a három hellyel korábbi tagot hozzáadva a három hellyel későbbi tagot kapjuk (Fₙ × 4 + Fₙ₋₃ = Fₙ₊₃). Például 21 × 4 + 5 = 89.
- Relatív prímek: két szomszédos Fibonacci-szám legnagyobb közös osztója mindig 1.
Fibonacci-számok a természetben és a művészetben
A Fibonacci-számok gyakran felbukkannak élő szervezetekben: sok virág szirmainak száma 3, 5, 8, 13 vagy 21, a napraforgó tányérján és a fenyőtobozok pikkelyein pedig az egymással ellentétes irányú spirálok száma is többnyire két szomszédos Fibonacci-szám. A háttérben a levélállás optimalizálása áll: az aranymetszésnek megfelelő elfordulási szög osztja el a leveleket úgy, hogy a legkevésbé takarják ki egymást.
A példákkal ugyanakkor érdemes óvatosan bánni. A természeti előfordulásokat gyakran túlzó vagy téves illusztrációkkal támasztják alá – a nautiluszkagyló héja például nem a Fibonacci-spirált követi, hanem egy másik logaritmikus spirált. Az építészetben és a képzőművészetben emlegetett aranymetszéses arányok jó része szintén utólagos belemagyarázás, nem tudatos tervezés eredménye.
A Fibonacci-sorozat a tőzsdei technikai elemzésben
A kereskedők nem magukat a Fibonacci-számokat, hanem a belőlük képzett arányokat használják: a 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8% és 78,6% szintek a technikai elemzés több eszközének az alapját adják. Az 50% szigorúan véve nem Fibonacci-arány, de a gyakorlatban együtt szokás kezelni velük.
| Eszköz | Mit rajzol a grafikonra | Mire használják |
|---|---|---|
| Fibonacci-visszatérés | Vízszintes vonalak | Támasz- és ellenállási zónák a korrekcióban |
| Fibonacci-kiterjesztés | Vízszintes vonalak az impulzus felett | Lehetséges árcélok a trend folytatódásakor |
| Fibonacci-legyező | Átlós vonalak egy csúcsról vagy aljról | Dinamikus támasz- és ellenállási szintek |
| Fibonacci-ívek | Ívek egy szélsőérték körül | Támasz és ellenállás ár- és időtávolság szerint |
| Fibonacci-időzónák | Függőleges vonalak | Fordulópontok várható időpontjai |
A leggyakrabban használt eszköz a Fibonacci-visszatérés: egy befejezett impulzusmozgás legalacsonyabb és legmagasabb pontja közé húzva megmutatja, hol találhat támaszt a korrekció. Az elmélet szerint a korrekció leggyakrabban az 50% és a 61,8% közötti sávban ér véget. Ugyanezek az arányok térnek vissza az Elliott-hullámok Fibonacci-elemzésében is.
A korlátaikkal együtt érdemes kezelni őket: a Fibonacci-szintek nem előrejelzések, hanem figyelt árszintek, amelyek részben önbeteljesítő módon működnek.
Önmagukban ritkán adnak megbízható jelzést, ezért más eszközökkel – például a Japán gyertya minták formációival – együtt érdemes olvasni őket. Ha még többet szeretnél megtudni a technikai elemzés alapjairól, olvasd el erről szóló cikkünket is!
Gyakori kérdések a Fibonacci-sorozatról
Figyelmeztetések:
A jelen cikk nem nyújt konkrét és személyre szóló befektetési tanácsadást, a benne foglaltak nem minősíthetők pénzügyi eszköz jegyzésére, vételére, eladására vonatkozó ajánlattételi felhívásnak vagy ajánlatnak, befektetési elemzésnek, pénzügyi elemzésnek, befektetéssel kapcsolatos kutatásnak, pénzügyi, adó- vagy jogi tanácsadásnak, így az itt szereplő információkat az olvasó csak saját felelősségre használhatja fel.